쇼어 알고리즘

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1. 개요
2. 알고리즘
3. 실현 가능성 및 영향
- 3.1. 물리적 구현
4. 이산 로그
- 4.1. 이산 로그에 대한 쇼어 알고리즘
5. 주기 찾기와 숨겨진 부분군 문제
참조

1. 개요

쇼어 알고리즘은 소인수분해 및 이산 로그 문제를 해결하는 양자 알고리즘이다. 이는 인수분해 문제를 위수 찾기 문제로 변환하는 고전적 환원 단계와, 위수 찾기 문제를 해결하기 위한 양자 알고리즘 단계로 구성된다. 쇼어 알고리즘은 양자 위상 추정 알고리즘과 연분수 알고리즘을 활용하며, 양자 모듈러 지수 연산이 알고리즘 실행 시간의 상당 부분을 차지한다. 충분한 수의 큐비트를 가진 양자 컴퓨터가 구현될 경우, RSA, 디피-헬만, 타원 곡선 디피-헬만과 같은 공개 키 암호화 방식을 깨뜨릴 수 있다. 쇼어 알고리즘은 이산 로그 문제 및 위수 찾기 문제를 해결하는 데 사용되며, 이는 숨겨진 부분군 문제의 예시이다.

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쇼어 알고리즘
일반 정보
분야	양자 컴퓨팅, 수학, 암호학
고안자	피터 쇼어
발표 시기	1994년
문제 유형	정수 인수 분해
시간 복잡도	O((log n)³)
공간 복잡도	O(log n)
상세 정보
쇼어 알고리즘	합동 산술을 사용하여 정수를 인수 분해하기 위한 양자 알고리즘이다.
적용 분야	이 알고리즘은 충분히 큰 양자 컴퓨터에서 실행될 경우 RSA 암호와 같은 널리 사용되는 암호 방식을 깨뜨릴 수 있다.
작동 원리	페터 빌레르는 이산 로그를 계산하는 양자 알고리즘을 개발했다. 이 알고리즘은 또한 쇼어 알고리즘이라고도 한다.
중요성	쇼어 알고리즘은 양자 컴퓨팅 분야에서 큰 중요성을 가지는 이유는, 양자 컴퓨터가 실제로 구축된다면 현재의 암호 체계를 무력화시킬 수 있다는 점을 보여주기 때문이다.
추가 정보
관련 연구	데이비드 베크먼, 아말라보얄 N. 차리, 스리크리슈나 데바박투니, 존 프레스킬 등의 연구자들이 양자 인수 분해를 위한 효율적인 네트워크를 연구했다.
2048비트 RSA 정수 인수 분해	크레이그 기드니, 마틴 에케라는 2천만 개의 노이즈가 있는 큐비트를 사용하여 8시간 안에 2048비트 RSA 정수를 인수 분해하는 방법을 연구했다.
정수 곱셈	데이비드 하비, 요리스 반 데르 후벤은 O (n log n) 시간 내에 정수 곱셈을 수행하는 방법을 연구했다.

2. 알고리즘

쇼어 알고리즘은 소인수분해 문제를 위수 찾기 문제로 변환하여 해결한다. 쇼어 알고리즘은 크게 두 부분으로 구성된다.

1. 인수분해 문제를 위수 찾기 문제로 변환하는 고전적인 부분이다. 이는 다른 인수분해 알고리즘에도 사용되는 방법과 유사하다.

2. 위수 찾기 문제를 해결하기 위한 양자 알고리즘 부분이다.

2. 1. 고전적 환원

소인수분해 문제를 위수 찾기 문제로 변환하는 고전적인 단계는 다음과 같다.

1. 주어진 합성수

N

에 대해,

2 \leq a < N

를 만족하는

N

과 서로소인 임의의 정수

a

를 선택한다.

2. 유클리드 알고리즘을 사용하여

a

와

N

의 최대공약수(GCD)를 계산한다. 만약 최대공약수가 1이 아니라면, 이는

N

의 비자명한 인수를 찾은 것이므로 알고리즘을 종료한다.

3. 최대공약수가 1이라면,

a

는

N

을 법으로 하는 정수 곱셈군에 속하며,

a^r \equiv 1 \bmod N

을 만족하는 가장 작은 양의 정수

r

(즉,

a

의 위수)을 찾는다.

4.

r

이 짝수이고

a^{r/2} \not\equiv -1 \pmod N

이면,

\gcd(a^{r/2} - 1, N)

과

\gcd(a^{r/2} + 1, N)

중 적어도 하나는

N

의 비자명한 인수가 된다. 이 비자명한 인수를 찾아 알고리즘을 종료한다. 만약

r

이 홀수이거나,

a^{r/2} \equiv -1 \pmod N

이라면, 다시

a

를 선택하여 위 과정을 반복한다.^[2]

2. 2. 양자 위수 찾기 서브루틴

쇼어 알고리즘에서 양자 위수 찾기 서브루틴은 주어진 수

a

와

N

에 대해,

a^r \equiv 1 \pmod N

를 만족하는 가장 작은 양의 정수

r

(위수)을 찾는 과정이다. 이 서브루틴은 양자 푸리에 변환(QFT)을 기반으로 한 양자 위상 추정 알고리즘을 핵심으로 사용한다.

이 알고리즘은 두 개의 레지스터를 사용하는데, 두 번째 레지스터는

N \le 2^n

을 만족하는 가장 작은 정수

n

개의 큐비트로 구성된다. 첫 번째 레지스터는

2n

개의 큐비트를 사용하여

r

을 찾기에 충분한 정확도를 확보한다.

알고리즘은 크게 두 단계로 나뉜다.

1. 양자 위상 추정:

a

로 곱하는 연산을 나타내는 유니터리 연산자

U

를 정의하고, 이

U

에 대한 양자 위상 추정 알고리즘을 적용한다. 이를 통해

U

의 고유값에 인코딩된 위상 정보, 즉

j/r

(

j=0,1,...,r-1

)에 대한 근삿값을 얻는다.

2. 연분수 알고리즘: 양자 위상 추정 단계에서 얻은 측정값을 바탕으로, 고전 컴퓨터에서 연분수 알고리즘을 사용하여

j/r

의 분수 근사를 구하고, 이를 통해 위수

r

을 추출한다.

이 과정에서, 첫 번째 레지스터의 크기(

2n

큐비트)는 위상 추정의 정확도를 결정하며, 최종적으로 연분수 알고리즘을 통해 올바른

r

값을 얻을 수 있도록 보장한다.^[27]

2. 2. 1. 양자 위상 추정

양자 위상 추정 알고리즘을 사용하면 위수에 대한 정보를 담고 있는 위상을 추정할 수 있다. 일반적으로, 임의의 유니타리

U

와

U|\psi\rangle=e^{2\pi i\theta} |\psi\rangle

를 만족하는 고유 상태

|\psi\rangle

에 대해, 양자 위상 추정 알고리즘은 입력 상태

|0\rangle|\psi\rangle

를

|\phi\rangle|\psi\rangle

에 가까운 출력 상태로 보낸다. 여기서

\phi

는

2^{2n} \theta

에 가까운 정수들의 중첩이다. 즉,

U

의 각 고유 상태

|\psi_j\rangle

를 관련된 고유값에 가까운 정보를 포함하는 상태로 보낸다.

양자 차수 찾기를 위해, 다음과 같이 정의된 유니타리를 사용한다.

U|k\rangle = \begin{cases} |ak \pmod N\rangle & 0 \le k < N, \\ |k\rangle & N \le k < 2^n.\end{cases}

N \leq k < 2^n

인 상태

|k\rangle

에 대한

U

의 작용은 알고리즘 작동에 필수적이지 않지만, 전체 변환이 잘 정의된 양자 게이트가 되도록 하기 위해 포함되어야 한다.

U

를 사용한 양자 위상 추정을 위한 회로를 구현하려면 게이트

U^{2^j}

를 효율적으로 구현할 수 있어야 한다. 이는 모듈러 지수 연산을 통해 달성할 수 있으며, 알고리즘에서 가장 느린 부분이다.

정의된 게이트는

U^r=I

를 만족하며, 이는 곧 고유값이

r

번째 단위근

\omega_r^k=e^{2\pi ik/r}

임을 의미한다. 또한, 각 고유값

\omega_r^j

는

|\psi_j\rangle=r^{-1/2}\sum_{k=0}^{r-1}\omega_r^{-kj}|a^k\rangle

형태의 고유 벡터를 가지며, 이 고유 벡터는 다음과 같다.

\begin{align}\frac{1}{\sqrt{r}} \sum_{j = 0}^{r - 1} |\psi_j\rangle &= \frac{1}{r} \sum_{j = 0}^{r - 1} \sum_{k = 0}^{r - 1} \omega_r^{jk}|a^k\rangle \\&= |1\rangle + \frac{1}{r} \sum_{k = 1}^{r - 1} \left(\sum_{j = 0}^{r - 1} \omega_r^{jk} \right) |a^k\rangle =|1\rangle,\end{align}

여기서 마지막 항등식은 기하 급수 공식을 따른다. 이는

\sum_{j = 0}^{r - 1} \omega_r^{jk} = 0

임을 의미한다.

입력 상태

|0\rangle^{\otimes 2 n}|\psi_j\rangle

에 양자 위상 추정 알고리즘을 사용하면 높은 확률로 정수

2^{2n} j/r

을 반환한다. 더 정확하게는, 양자 위상 추정 회로는

|0\rangle^{\otimes 2 n}|\psi_j\rangle

를

|\phi_j\rangle|\psi_j\rangle

로 보내어 결과 확률 분포

p_k \equiv|\langle k|\phi_j\rangle|^2

이

k=2^{2n} j/r

근처에서 최댓값을 가지게 하며,

p_{2^{2n}j/r}\ge \frac{4}{\pi^2} \approx 0.4053

이다. 이 확률은 추가적인 큐비트를 사용하여 1에 가깝게 만들 수 있다.

위의 추론을 입력

|0\rangle^{\otimes 2 n}|1\rangle

에 적용하면, 양자 위상 추정은 다음과 같은 변화를 일으킨다.

|0\rangle^{\otimes 2 n}|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{r}} \sum_{j = 0}^{r - 1} |0\rangle^{\otimes 2 n} |\psi_j\rangle \to \frac{1}{\sqrt{r}} \sum_{j = 0}^{r - 1} |\phi_j\rangle|\psi_j\rangle.

첫 번째 레지스터를 측정하면 각

|\phi_j\rangle

를 찾을 확률이

1/r

로 균등하게 분포되며, 각각

2^{2 n} j/r

에 대한 정수 근삿값을 제공한다. 이를

2^{2n}

으로 나누어

j/r

에 대한 소수 근삿값을 얻을 수 있다.

2. 2. 2. 연분수 알고리즘

정수

b

와

c

를 찾기 위해 연분수 알고리즘을 적용한다. 여기서

\frac{b}{c}

는 회로에서 측정된 근사값에 대한 최적의 분수 근사값을 제공하며,

b, c < N

이며 서로소인

b

와

c

이다. 첫 번째 레지스터의 큐비트 수

2n

은 근사값의 정확도를 결정하며, 다음을 보장한다.^[2]

:

\frac{b}{c} = \frac{j}{r}

|\phi_j\rangle

의 중첩에서 최상의 근사값이 측정된 경우 (추가 비트를 사용하고 출력을 잘라내어 임의로 가능하게 만들 수 있다). 그러나

b

와

c

는 서로소이지만,

j

와

r

이 서로소가 아닐 수도 있다. 그렇기 때문에

b

와

c

는

j

와

r

에 있던 일부 인수를 잃었을 수 있다. 이는 양자 차수 찾기 하위 루틴을 임의의 횟수로 다시 실행하여 다음과 같은 분수 근사 목록을 생성하여 해결할 수 있다.

:

\frac{b_1}{c_1}_{\textstyle ,} \; \frac{b_2}{c_2}_{\textstyle ,} \ldots \vphantom{\frac{b_1}{c_1}}_{\textstyle ,} \; \frac{b_s}{c_s}

s

는 하위 루틴이 실행된 횟수이다. 각

c_k

는 회로가 (가능성이 높게) 여러 다른 가능한

j

값을 측정했기 때문에 다른 인수를 갖게 된다. 실제

r

값을 복구하기 위해, 각

c_k

의 최소공배수를 취할 수 있다.

:

\mathrm{lcm}(c_1, c_2, \ldots, c_s)

최소공배수는 원래 정수

a

의 차수

r

이 높은 확률로 된다. 실제로는, 더 발전된 후처리 기술을 사용한다면 양자 차수 찾기 하위 루틴을 한 번만 실행하는 것으로도 충분하다.^[24]

2. 2. 3. 첫 번째 레지스터의 크기 선택

위상 추정은 알고리즘의 정확도를 결정하기 위해 첫 번째 레지스터의 크기를 선택해야 하며, 쇼어 알고리즘의 양자 서브루틴의 경우 위상 추정에서 측정된 최적의 비트열(즉, 위상 추정에서 위상의 가장 정확한 근사인

k / 2^{2n}

인

|k\rangle

)이 실제

r

값을 복구할 수 있도록 보장하기 위해

2n

개의 큐비트가 충분하다.^[27]

쇼어 알고리즘에서 측정이 이루어지기 전의 각

|\phi_j\rangle

는

2^{2 n} j/r

을 근사하는 정수의 중첩을 나타낸다.

|k\rangle

는

|\phi_j\rangle

에서 가장 최적의 정수를 나타낸다고 하자. 만약

j

와

r

이

n

비트 정수이고,

\left\vert \frac{j}{r} - \phi\right\vert \leq \frac{1}{2 r^2}

이면

\phi

에 대해 실행되는 연분수 알고리즘은

\frac{j}{\gcd(j,\; r)}

와

\frac{r}{\gcd(j,\; r)}

를 모두 복구한다.^[27]

k

가 위상 추정에서 얻은 최적의 비트열이므로,

k/2^{2 {n}}

은

j/r

을

2n

비트만큼 정확하게 표현한다. 따라서,

\left\vert\frac{j}{r} - \frac{k}{2^{2n}}\right\vert \leq \frac{1}{2^{2 {n} + 1}} \leq \frac{1}{2N^2} \leq \frac{1}{2r^2}

는 연분수 알고리즘이

j

와

r

을 (혹은 최대공약수로 나눈 값) 복구할 것임을 의미한다.^[27]

2. 3. 병목 현상

쇼어 알고리즘의 실행 시간 병목 현상은 양자 모듈러 지수 연산이며, 이는 양자 푸리에 변환 및 고전적인 전/후 처리보다 훨씬 느리다.^[25]^[26] 모듈러 지수 연산을 위한 회로를 구성하고 최적화하는 데는 여러 가지 접근 방식이 있다. 가장 단순하고 (현재) 가장 실용적인 접근 방식은 가역 게이트를 사용하여 리플 캐리 가산기부터 시작하여 기존 산술 회로를 모방하는 것이다. 지수 연산의 밑수와 모듈러스를 알면 추가 최적화가 용이하다.^[25]^[26] 가역 회로는 일반적으로

n

개의 큐비트에 대해

n^3

개의 게이트를 사용한다. 다른 기술은 양자 푸리에 변환을 사용하여 게이트 수를 점근적으로 개선하지만, 높은 상수 때문에 600개 미만의 큐비트로는 경쟁력이 없다.

3. 실현 가능성 및 영향

충분한 수의 큐비트를 가진 양자 컴퓨터가 양자 잡음 및 기타 양자-얽힘 현상에 굴복하지 않고 작동할 수 있다면, 쇼어 알고리즘은 RSA를 비롯한 공개 키 암호화 방식을 깨는 데 사용될 수 있다.^[8]

쇼어 알고리즘은 큰 정수를 인수분해하는 것이 이상적인 양자 컴퓨터에서 효율적임을 보여준다. RSA 암호는 이러한 인수분해가 어려워야 성립되는데, 양자 컴퓨터를 통해 RSA를 무력화하는 것이 가능할 수 있다는 점은, 양자 컴퓨터 설계 및 제작과 새로운 양자 컴퓨터 알고리즘 연구를 위한 강력한 동기가 되었다. 또한 양자 내성 암호와 같이 양자 컴퓨터로부터 안전한 새로운 암호 시스템 연구를 촉진했다.

3. 1. 물리적 구현

현대 양자 컴퓨터는 오류율이 높고, 양자 오류 정정을 사용하기에는 큐비트 수가 부족하기 때문에 실험실 시연에서 시도 횟수의 일부에서만 올바른 결과를 얻을 수 있다.

2001년, IBM의 한 그룹은 7개의 큐비트를 가진 NMR 구현을 사용하여 15를 3 × 5 로 인수분해하는 데 성공했다.^[9] IBM의 구현 이후, 두 개의 독립적인 그룹이 광자 큐비트를 사용하여 쇼어 알고리즘을 구현했으며, 쇼어 알고리즘 회로를 실행할 때 다중 큐비트 양자 얽힘이 관찰되었음을 강조했다.^[10]^[11] 2012년에는 고체 큐비트로 15를 인수분해했다.^[12] 이후 2012년에는 21을 인수분해하는 데 성공했다.^[13] 2016년에는 재활용 기술을 사용하여 트랩된 이온 큐비트로 15를 다시 인수분해했다.^[14] 2019년에는 IBM Q System One에서 쇼어 알고리즘을 사용하여 숫자 35를 인수분해하려는 시도가 있었지만, 오류가 축적되어 알고리즘이 실패했다.^[15] 그러나 이러한 모든 시연은 답에 대한 사전 지식을 활용하여 알고리즘을 컴파일했으며, 일부는 알고리즘을 동전 던지기와 동등하게 만드는 방식으로 지나치게 단순화하기도 했다.^[16]

쇼어 알고리즘의 이론적 분석은 잡음과 오류가 없는 양자 컴퓨터를 가정한다. 그러나 근시일 내의 실제 구현은 이러한 원치 않는 현상을 다루어야 한다. 더 많은 큐비트를 사용할 수 있게 되면, 양자 오류 정정이 도움이 될 수 있다. 2023년, 진이 차이는 잡음이 있는 경우, 쇼어 알고리즘이 특정 조건을 만족하는 두 소수의 곱인 큰 반소수에 대해 점근적으로 거의 확실하게 실패한다는 것을 보였다.^[19]

4. 이산 로그

쇼어 알고리즘은 이산 로그 문제와 위수 찾기 문제를 해결하기 위한 알고리즘이며, 주기 찾기 문제를 해결하는 알고리즘의 예시이기도 하다. 이 세 가지 문제는 모두 숨겨진 부분군 문제에 해당한다.

4. 1. 이산 로그에 대한 쇼어 알고리즘

군 ''G''의 차수가 ''p''이고 생성원이 ''g'' ∈ ''G''라고 가정한다. ''r'' ∈ ℤ_''p''에 대해 ''x'' = ''g''^''r'' ∈ ''G''임을 알고 있으며, 이산 로그: ''r'' = log_''g''(''x'')를 계산하고자 한다고 가정한다. 아벨 군 ℤ_''p'' × ℤ_''p''를 고려한다. 여기서 각 인자는 값의 모듈러 덧셈에 해당한다. 이제 다음 함수를 고려한다.

:''f'' : ℤ_''p'' × ℤ_''p'' → ''G'' ; ''f''(''a'',''b'') = ''g''^''a''''x''^-''b''.

이것은 ''f''가 군 준동형 사상에 해당하는 아벨 숨겨진 부분군 문제를 제공한다. 커널은 (''r'',1)의 배수에 해당한다. 따라서 커널을 찾을 수 있다면 ''r''을 찾을 수 있다. 이 문제를 해결하기 위한 양자 알고리즘이 존재한다. 이 알고리즘은 인수 분해 알고리즘과 마찬가지로 피터 쇼어(Peter Shor)에 의해 개발되었으며, Hadamard 게이트를 사용하여 중첩을 생성한 다음, ''f''를 양자 변환으로 구현하고, 마지막으로 양자 푸리에 변환을 수행하여 구현된다.^[27] 이 때문에 이산 로그를 계산하는 양자 알고리즘을 "쇼어 알고리즘"이라고도 한다.

5. 주기 찾기와 숨겨진 부분군 문제

쇼어 알고리즘은 이산 로그 문제와 위수 찾기 문제를 해결하기 위한 알고리즘의 예시이며, 이는 주기 찾기 문제를 해결하는 알고리즘의 예시이기도 하다. 이 세 가지 문제는 모두 숨겨진 부분군 문제의 예시이다.

참조

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_[29] 뉴스 양자 시대, 생각보다 빨리 온다 https://news.naver.c[...] 전자신문 2017-06-28

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